Qué es una ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) es toda igualdad que se puede escribir en la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y, de manera imprescindible, a ≠ 0. Si a fuese cero, el término cuadrático desaparecería y quedaría una simple ecuación de primer grado.
El nombre «de segundo grado» viene del exponente más alto de la incógnita: el 2 de la x². Cada coeficiente tiene un papel: a es el coeficiente cuadrático (marca la apertura de la parábola), b es el coeficiente lineal y c es el término independiente (el punto donde la parábola corta el eje Y). Gráficamente, la solución de la ecuación son los puntos donde la parábola y = ax²+bx+c corta el eje X.
La fórmula general y el discriminante
La herramienta clave para resolver cualquier ecuación cuadrática es la fórmula general, que se obtiene completando cuadrados sobre la forma estándar:
La parte que va bajo la raíz recibe un nombre propio, el discriminante, y por sí sola nos dice cuántas soluciones tendrá la ecuación antes incluso de terminar el cálculo:
- Si D > 0: la raíz cuadrada existe y el signo ± genera dos soluciones reales distintas.
- Si D = 0: la raíz vale cero, el ± no cambia nada y hay una única raíz doble.
- Si D < 0: la raíz de un número negativo no es real, así que hay dos soluciones complejas conjugadas.
Cómo resolverla paso a paso
- Identifica a, b y c: ordena la ecuación en la forma ax²+bx+c=0. En 2x² − 4x − 6 = 0 tenemos a=2, b=−4 y c=−6.
- Calcula el discriminante: sustituye en D = b² − 4ac. Aquí D = (−4)² − 4·2·(−6) = 16 + 48 = 64.
- Aplica la fórmula general: x = (−b ± √D) ÷ (2a) = (4 ± 8) ÷ 4, de donde x₁ = 3 y x₂ = −1.
Comprobación rápida con las fórmulas de Vieta: la suma de las raíces debe ser −b/a = 4/2 = 2 (y 3 + (−1) = 2 ✓) y el producto c/a = −6/2 = −3 (y 3 · (−1) = −3 ✓).
Casos: dos soluciones, una o ninguna real
El signo del discriminante separa los tres escenarios posibles. Conviene reconocerlos de un vistazo:
| Discriminante | Soluciones | La parábola… |
|---|---|---|
| D > 0 | Dos raíces reales distintas | corta el eje X en dos puntos |
| D = 0 | Una raíz real doble | es tangente al eje X (lo toca en un punto) |
| D < 0 | Dos raíces complejas conjugadas | no corta el eje X |
Un caso especial es cuando a = 0: la ecuación ya no es cuadrática, sino lineal (bx + c = 0), y su única solución es x = −c/b. La calculadora lo detecta y te avisa. El vértice de la parábola, situado en x = −b/(2a), marca el punto mínimo (si a > 0) o máximo (si a < 0) y siempre está justo en el medio de las dos raíces.
Ejemplos resueltos
| Ecuación | Discriminante | Soluciones |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 25 − 24 = 1 | x₁ = 3, x₂ = 2 |
| x² − 6x + 9 = 0 | 36 − 36 = 0 | x = 3 (doble) |
| x² + 2x + 5 = 0 | 4 − 20 = −16 | x = −1 ± 2i |
| 2x² − 4x − 6 = 0 | 16 + 48 = 64 | x₁ = 3, x₂ = −1 |
| 3x² + 2x = 0 | 4 − 0 = 4 | x₁ = 0, x₂ = −2/3 |
Fíjate en la última fila: cuando falta el término independiente (c = 0), una de las soluciones siempre es x = 0, porque se puede sacar factor común la x.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado?
La fórmula general es x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a), donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación ax²+bx+c=0. El signo ± indica que puede haber dos soluciones: una con suma y otra con resta.
¿Qué es el discriminante y para qué sirve?
El discriminante es D = b² − 4ac. Su signo indica el número de soluciones reales: si D>0 hay dos raíces reales distintas, si D=0 hay una raíz doble y si D<0 no hay soluciones reales, sino dos complejas conjugadas.
¿Qué ocurre si el coeficiente a es igual a 0?
Si a=0 la ecuación deja de ser de segundo grado y se convierte en una ecuación lineal bx+c=0, cuya solución es x = −c/b. Si además b=0, no es una ecuación válida en x.
¿Puede una ecuación de segundo grado no tener solución real?
Sí. Cuando el discriminante es negativo (D<0), la ecuación no corta el eje X y no tiene soluciones reales, pero sí dos soluciones complejas conjugadas de la forma p ± q·i.
¿Cómo se calcula el vértice de la parábola?
El vértice de y = ax²+bx+c está en x = −b/(2a). Sustituyendo ese valor en la ecuación se obtiene la coordenada y. El vértice marca el punto mínimo (si a>0) o máximo (si a<0) de la parábola.
¿Qué relación hay entre las raíces y los coeficientes?
Por las fórmulas de Vieta, la suma de las raíces es −b/a y su producto es c/a. Sirven para comprobar rápidamente si las soluciones obtenidas son correctas.