¿Qué son el MCD y el MCM?
El máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el mayor número que los divide a todos exactamente, sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6, porque 6 es el divisor más grande que cabe un número entero de veces tanto en 12 como en 18. El MCD nunca es mayor que el más pequeño de los números.
El mínimo común múltiplo (MCM) es justo lo contrario: el menor número que es múltiplo de todos ellos a la vez. El MCM de 12 y 18 es 36, porque 36 es el múltiplo más pequeño que comparten (36 = 12 × 3 = 18 × 2). El MCM nunca es menor que el más grande de los números.
¿Para qué sirven?
Aunque parezcan conceptos de examen, el MCD y el MCM aparecen en muchos problemas prácticos:
- Simplificar fracciones (MCD): para reducir una fracción a su forma más simple se divide numerador y denominador entre su MCD. Puedes hacerlo directamente con nuestra calculadora de fracciones.
- Sumar y restar fracciones (MCM): el MCM de los denominadores es el mínimo común denominador, el paso obligado para operar con fracciones de distinto denominador.
- Repartos en grupos iguales (MCD): «tengo 24 lápices y 18 gomas y quiero hacer lotes iguales sin que sobre nada». El número máximo de lotes es el MCD = 6.
- Problemas de coincidencia (MCM): «un autobús pasa cada 12 minutos y otro cada 18; si acaban de coincidir, ¿cada cuánto vuelven a coincidir?». La respuesta es el MCM = 36 minutos. Lo mismo sirve para semáforos, luces intermitentes o eventos que se repiten.
Cómo se calcula el MCD
Hay dos métodos habituales. El primero es la descomposición en factores primos: se descompone cada número y se multiplican solo los factores comunes a todos, cada uno elevado al menor exponente con el que aparece.
El segundo método es el algoritmo de Euclides, muy rápido para números grandes: se divide el mayor entre el menor y se sustituye el mayor por el resto, repitiendo hasta que el resto sea 0. El último divisor es el MCD. Para 18 y 12: 18 ÷ 12 deja resto 6; 12 ÷ 6 deja resto 0, así que el MCD es 6. Para más de dos números se calcula por parejas: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c).
Cómo se calcula el MCM
Con factores primos, el MCM se obtiene multiplicando todos los factores que aparecen (comunes y no comunes), cada uno elevado al mayor exponente.
Otra vía más directa es usar la relación con el MCD: MCM(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b). Para 12 y 18: (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36. Para varios números se encadena por parejas, igual que con el MCD. Esta es precisamente la fórmula que usa la calculadora internamente, porque es exacta y muy eficiente.
La relación entre MCM y MCD
Para dos números se cumple siempre una identidad muy útil:
Por eso, si conoces uno de los dos valores puedes deducir el otro sin repetir toda la descomposición. Con 12 y 18: MCM × MCD = 36 × 6 = 216 = 12 × 18. Ojo: esta identidad solo vale para dos números; con tres o más ya no se cumple directamente.
Descomposición en factores primos paso a paso
Descomponer un número es escribirlo como producto de números primos. Se divide entre el menor primo posible tantas veces como se pueda antes de pasar al siguiente:
- Empieza dividiendo entre 2 mientras el número sea par.
- Pasa al 3, luego al 5, al 7, y así con los primos sucesivos.
- Termina cuando llegues a 1.
Ejemplo con 60: 60 ÷ 2 = 30 → 30 ÷ 2 = 15 → 15 ÷ 3 = 5 → 5 ÷ 5 = 1. Los factores son 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. Si quieres comprobar qué números son primos, echa un vistazo a la calculadora de números primos.
Ejemplos resueltos
| Números | Factores primos | MCD | MCM |
|---|---|---|---|
| 12 y 18 | 2²·3 · 2·3² | 6 | 36 |
| 8 y 12 | 2³ · 2²·3 | 4 | 24 |
| 12, 18 y 24 | 2²·3 · 2·3² · 2³·3 | 6 | 72 |
| 15 y 25 | 3·5 · 5² | 5 | 75 |
| 9 y 28 | 3² · 2²·7 | 1 | 252 |
Cuando el MCD es 1, como en 9 y 28, se dice que los números son primos entre sí (coprimos): no comparten ningún factor y su MCM es simplemente su producto.
Problemas típicos de examen
Reconocer cuándo usar cada uno es la clave. Si el problema pregunta por «la mayor cantidad», «el mayor tamaño de grupo» o «repartir sin que sobre», casi siempre es un MCD. Si pregunta «cada cuánto vuelven a coincidir», «cuándo se repite» o «el menor número que cumple varias condiciones a la vez», es un MCM. Practica planteando la descomposición y comprueba tu respuesta con la calculadora de arriba.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el MCD?
Descompón cada número en factores primos y multiplica los factores comunes a todos elevados al menor exponente. También puedes usar el algoritmo de Euclides. Ejemplo: 12 = 2²·3 y 18 = 2·3², comunes 2 y 3, así que MCD(12, 18) = 2 × 3 = 6.
¿Cómo se calcula el MCM?
Descompón cada número en factores primos y multiplica todos los factores (comunes y no comunes) elevados al mayor exponente. Alternativamente, MCM(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b). Ejemplo: MCM(12, 18) = 2² × 3² = 36.
¿Para qué sirven el MCM y el MCD?
El MCD sirve para simplificar fracciones y repartir en grupos iguales lo más grandes posible. El MCM se usa para sumar y restar fracciones con distinto denominador y para problemas de coincidencia, como saber cada cuántos días vuelven a coincidir dos eventos que se repiten con periodos distintos.
¿Cuál es el MCD de 12 y 18?
El MCD de 12 y 18 es 6. Descomponiendo: 12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3². Los factores comunes al menor exponente son 2 y 3, por lo que MCD = 2 × 3 = 6. Es el mayor número que divide exactamente tanto a 12 como a 18.
¿Qué diferencia hay entre MCM y MCD?
El MCD es el mayor número que divide a todos y siempre es menor o igual que el número más pequeño. El MCM es el menor número múltiplo de todos y siempre es mayor o igual que el número más grande. Para dos números se cumple que MCM × MCD = producto de ambos.
¿Cómo se descompone un número en factores primos?
Se divide el número entre el menor primo posible (2, luego 3, 5, 7...) tantas veces como se pueda antes de pasar al siguiente, hasta llegar a 1. Por ejemplo, 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.