¿Qué es un número primo?
Un número primo es un número entero mayor que 1 que solo tiene dos divisores exactos: el 1 y él mismo. Por ejemplo, 7 es primo porque únicamente lo dividen de forma exacta el 1 y el 7. En cambio, 12 no es primo porque también lo dividen el 2, el 3, el 4 y el 6; los números con más de dos divisores se llaman compuestos.
Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. El 2 es especial: es el primer primo y el único que es par, porque cualquier otro número par se puede dividir entre 2 y, por tanto, tiene ese divisor extra. A partir del 2, todos los primos son impares.
¿Por qué el 1 no es primo?
Podría parecer que el 1 debería ser primo, ya que solo se divide entre 1 y entre sí mismo. Pero es que en su caso ambos divisores son el mismo número: el 1 tiene un único divisor. La definición moderna exige tener exactamente dos divisores distintos, así que el 1 queda fuera.
Hay una razón más profunda. El teorema fundamental de la aritmética dice que todo número entero mayor que 1 se puede escribir de una única forma como producto de primos. Si el 1 fuera primo, esa unicidad se rompería: 6 = 2 × 3, pero también 6 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3… con infinitas variantes. Excluir el 1 mantiene la descomposición única.
Cómo saber si un número es primo
El método directo consiste en probar divisores hasta la raíz cuadrada del número. No hace falta ir más allá: si un número n tuviera un divisor mayor que √n, ese divisor iría emparejado con otro menor que √n que ya habrías encontrado antes. Comprobar hasta la raíz cuadrada reduce muchísimo el trabajo.
Veamos un ejemplo con el 97. Su raíz cuadrada es aproximadamente 9,8, así que basta con probar los primos 2, 3, 5 y 7. El 97 no es par, no es múltiplo de 3 (9 + 7 = 16), no acaba en 0 ni 5, y 97 ÷ 7 = 13,85… no es exacto. Como ningún divisor funciona, 97 es primo. Nuestra calculadora aplica exactamente este algoritmo, saltando los pares tras el 2 para ir aún más rápido, y usa aritmética de enteros grandes (BigInt) para no perder precisión con cifras altas.
Qué es la factorización en factores primos
La factorización en factores primos consiste en escribir un número como producto de números primos. Se va dividiendo entre el primo más pequeño posible de forma repetida hasta llegar a 1. Por ejemplo:
Gracias al teorema fundamental de la aritmética, esta descomposición es única para cada número (salvo el orden de los factores). La factorización es una de las herramientas más útiles de la aritmética, porque permite:
- Calcular el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD) combinando los factores comunes y no comunes. Puedes hacerlo al instante con nuestra calculadora de MCM y MCD.
- Simplificar fracciones, cancelando los factores primos que comparten numerador y denominador.
- Reducir raíces y trabajar con potencias de forma más sencilla.
La criba de Eratóstenes
La criba de Eratóstenes es un método de hace más de 2.000 años para encontrar todos los primos hasta un número N. Se escriben los números del 2 al N y se van tachando los múltiplos de cada primo: primero los del 2 (4, 6, 8…), luego los del 3 (6, 9, 12…), después los del 5, y así sucesivamente. Los números que quedan sin tachar son los primos.
Es sorprendentemente eficiente: en lugar de comprobar cada número por separado, elimina de golpe todos los múltiplos. La pestaña «Lista de primos» de la calculadora usa este algoritmo para generar los primos hasta 10.000 al instante.
Curiosidades sobre los números primos
- Son infinitos. Euclides demostró hace más de dos mil años que no existe un «último» número primo: por muchos que encuentres, siempre hay más.
- Primos gemelos. Son parejas de primos que se diferencian en 2, como (11, 13), (17, 19) o (41, 43). Se cree que hay infinitos, pero todavía no se ha demostrado.
- El mayor primo conocido tiene más de 41 millones de cifras. Es un primo de Mersenne (de la forma 2ⁿ − 1) hallado mediante computación distribuida por miles de ordenadores.
- El 2 es el único primo par, lo que a veces lo convierte en la excepción de muchas reglas sobre primos.
¿Para qué se usan los números primos?
Más allá de las matemáticas de clase, los números primos son la columna vertebral de la criptografía moderna. Sistemas como RSA, que protegen las compras online, la banca y las comunicaciones seguras, se basan en un hecho curioso: multiplicar dos primos enormes es fácil, pero factorizar el resultado para recuperar esos dos primos es prácticamente imposible con la tecnología actual. Esa asimetría es lo que mantiene tus datos a salvo.
También aparecen en la generación de números aleatorios, en códigos correctores de errores, en las tablas hash de la informática e incluso en la naturaleza: algunas cigarras emergen cada 13 o 17 años (ambos primos) para dificultar que sus depredadores sincronicen sus ciclos con ellas.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un número primo?
Un número primo es un número entero mayor que 1 que solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. Por ejemplo, 7 es primo porque únicamente se puede dividir de forma exacta entre 1 y 7. Los números con más divisores se llaman compuestos.
¿Es el 1 un número primo?
No. El 1 no es primo porque solo tiene un divisor (él mismo), y la definición exige tener exactamente dos divisores distintos: el 1 y el propio número. Por eso el primer número primo es el 2, que además es el único primo par.
¿Cómo saber si un número es primo?
Prueba a dividirlo entre los números desde 2 hasta su raíz cuadrada. Si ninguno lo divide de forma exacta, es primo. No hace falta ir más allá de la raíz cuadrada: si tuviera un divisor mayor que ella, también tendría uno menor que ya habrías encontrado.
¿Cómo se factoriza un número?
Se divide entre el primo más pequeño posible (2, luego 3, 5, 7…) de forma repetida hasta llegar a 1. Los divisores usados son sus factores primos. Por ejemplo, 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. Cada número tiene una única descomposición en factores primos.
¿Cuáles son los primeros números primos?
Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47. El 2 es el único primo par; todos los demás son impares. Existen infinitos números primos, como demostró Euclides.
¿Para qué sirven los números primos?
Son la base de la factorización, que se usa para el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y para simplificar fracciones. Además son esenciales en criptografía: la seguridad de sistemas como RSA se apoya en lo difícil que es factorizar el producto de dos primos muy grandes.