¿Qué es una matriz?
Una matriz es una tabla rectangular de números organizados en filas y columnas. Se identifica por su dimensión, que se escribe como «filas × columnas»: una matriz 2×2 tiene 2 filas y 2 columnas (4 elementos en total), y una 3×3 tiene 3 filas y 3 columnas (9 elementos). Cada número dentro de la matriz se llama elemento y se localiza por su posición: fila i, columna j.
Las matrices son una herramienta central del álgebra lineal y aparecen en informática, física, economía, gráficos 3D, machine learning y en la resolución de sistemas de ecuaciones. Cuando una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas se llama matriz cuadrada, y solo estas admiten operaciones como el determinante o la inversa.
Suma y resta de matrices
La suma y la resta de matrices son las operaciones más sencillas: se hacen elemento a elemento. Cada casilla del resultado es la suma (o resta) de las casillas que ocupan la misma posición en las dos matrices. La condición imprescindible es que ambas matrices tengan la misma dimensión.
Ejemplo con A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]]:
La resta funciona igual, restando en lugar de sumar. Si las matrices no tienen la misma dimensión, la operación no está definida.
Producto de matrices (cómo se multiplica)
El producto matricial es la operación que más confunde, porque no se multiplica elemento a elemento. Cada casilla del resultado se obtiene combinando una fila de A con una columna de B: se multiplican sus términos uno a uno y se suman (esto es el producto escalar de fila por columna).
Para poder multiplicar, el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Con matrices cuadradas de la misma dimensión siempre se puede. Ejemplo con A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]]:
Ojo: el producto de matrices no es conmutativo. En general A×B ≠ B×A, así que el orden importa.
Determinante y transpuesta
Determinante
El determinante es un número que se calcula solo para matrices cuadradas. Indica si la matriz es invertible (lo es si el determinante es distinto de 0) y mide cómo la matriz escala áreas o volúmenes. Para una matriz 2×2:
Ejemplo: det([[1, 2], [3, 4]]) = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2.
Para una matriz 3×3 se usa la regla de Sarrus: se suman los tres productos de las diagonales descendentes y se restan los tres de las diagonales ascendentes.
Transpuesta
La transpuesta de una matriz, escrita Aᵀ, se obtiene intercambiando filas por columnas: el elemento de la fila i, columna j pasa a la fila j, columna i.
Ejemplo: la transpuesta de [[1, 2], [3, 4]] es [[1, 3], [2, 4]]. La primera fila (1, 2) se convierte en la primera columna.
Ejemplos resueltos
Usando A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]], estos son los resultados que devuelve la calculadora:
| Operación | Cómo se calcula | Resultado |
|---|---|---|
| A + B | Elemento a elemento | [[6, 8], [10, 12]] |
| A − B | Elemento a elemento | [[−4, −4], [−4, −4]] |
| A × B | Fila × columna (producto escalar) | [[19, 22], [43, 50]] |
| det(A) | 1·4 − 2·3 | −2 |
| Aᵀ | Filas por columnas | [[1, 3], [2, 4]] |
Comprueba tú mismo estos valores en la calculadora de arriba: selecciona dimensión 2×2, escribe los números de A y B y pulsa cada operación. Las celdas que dejes vacías se toman como 0.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se suman dos matrices?
Las matrices se suman elemento a elemento: cada casilla del resultado es la suma de las casillas que ocupan la misma posición en A y B. Solo se pueden sumar matrices de la misma dimensión. Ejemplo: [[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]].
¿Cómo se multiplican dos matrices?
El producto matricial no es elemento a elemento. Cada casilla del resultado se obtiene multiplicando una fila de A por una columna de B y sumando los productos (producto escalar). El número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Ejemplo: [[1,2],[3,4]] × [[5,6],[7,8]] = [[19,22],[43,50]].
¿Qué es el determinante de una matriz?
El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada que indica si es invertible y cómo transforma el área o el volumen. Para 2×2 es ad − bc; para 3×3 se usa la regla de Sarrus. Si el determinante es 0, la matriz no tiene inversa.
¿Qué es la transpuesta de una matriz?
La transpuesta se obtiene intercambiando filas por columnas: el elemento de la fila i y columna j pasa a la fila j y columna i. La transpuesta de [[1,2],[3,4]] es [[1,3],[2,4]].
¿Se puede restar una matriz de otra?
Sí, la resta también se hace elemento a elemento, restando cada casilla de B a la casilla correspondiente de A. Como en la suma, ambas matrices deben tener la misma dimensión.
¿Qué diferencia hay entre una matriz 2×2 y una 3×3?
El número indica filas × columnas. Una matriz 2×2 tiene 2 filas y 2 columnas (4 elementos); una 3×3 tiene 3 filas y 3 columnas (9 elementos). El método de cálculo del determinante cambia: 2×2 usa ad − bc y 3×3 usa la regla de Sarrus.